Métodos de Definición para los Límites Económicos de una Explotación a Cielo Abierto

Dentro de las actividades a desarrollar en el diseño de una explotación a rajo abierto, se encuentra la que dice relación con definir los límites físicos de dicha explotación, ya que ante la presencia de un yacimiento podemos pensar en extraer todo el mineral o extraer solamente lo que más nos convenga. Esta última proposición es la que finalmente tendrá que prevalecer, ya que es la razón por la cual se explota un recurso, y es esta conveniencia la que nos introduce el concepto de optimizar la explotación de nuestro yacimiento, optimización que se traduce en cuidadosos análisis económicos y operacionales que permanentemente van en busca de ese mejor aprovechamiento global de los recursos.

 Es así como surgen variados métodos para definir cuales serán los límites económicos de un rajo, que sin duda cada uno aporta un concepto útil y que en muchos casos se combinan para generar otro método.

 Descripción Conceptual del Algoritmo del cono móvil Optimizante

La teoría de los conos flotantes para determinar los límites económicos del Rajo, data de los años 60. La técnica consiste en una rutina que pregunta por la conveniencia de extraer un bloque y su respectiva sobrecarga. Para esto el algoritmo tradicional se posiciona sobre cada bloque de valor económico positivo del modelo de bloques y genera un cono invertido, donde la superficie lateral del cono representa el ángulo de talud. Si el beneficio neto del cono es mayor o igual que un beneficio deseado dicho cono se extrae, de lo contrario se deja en su lugar.

En el siguiente esquema se presenta un perfil de un modelo de bloques sometido al algoritmo del cono móvil optimizante, donde cada bloque está definido por un valor económico, es decir lo que significa económicamente su extracción. Es así que los bloques con valor negativo representan a los bloques de estéril con su costo de extracción asociado (-10) y los bloques de mineral son representados por el beneficio global que reporta su extracción (Beneficio Global = Ingresos – Costos = 810 – 10 = 800).

Esquema Modelo de Bloques sometido al algoritmo del cono móvil optimizante

En el ejemplo anterior podemos observar que el extraer el bloque de valor positivo (+800) y sus 15 bloques de estéril asociado (-10 cada uno), genera un beneficio final de +650, correspondiente al beneficio de extraer dicho bloque con su sobre carga asociada.

Bondades del cono móvil optimizante

El cono móvil optimizante tiene esa denominación ya que es una versión mejorada de la tradicional rutina del cono flotante. El creador fue el ingeniero Marc Lemieux, quién detectó una serie de deficiencias y mermas económicas producidas por el método convencional de conos flotantes y en 1979 publicó el artículo “Moving Cone Optimizing Algorythm”, en Computer Methods for the 80’s in the Mineral Industry, de A. Weiss. El nuevo algoritmo fue probado en Climax Molybdenum Co. y como resultado se obtuvo diseños muy superiores en el aspecto económico, que aquellos obtenidos con el algoritmo convencional.

 Las principales mejoras de la rutina del cono móvil optimizante con respecto al método tradicional fueron:

i) Secuencias de extracción de Conos:

Esta radica en la secuencia con que son analizados los bloques del modelo.

Figura 1. Secuencias de extracción de Conos

En la figura se puede apreciar el beneficio que reporta la extracción de cada bloque. Los bloques con beneficio positivo ya se les ha descontado lo que cuesta extraer dicho bloque o costo mina (-10).

Si el primer cono se construye en el bloque (1) y suponiendo un ángulo de talud a, entonces dicho bloque no puede ser extraído (Beneficio = -10). Al no ser factible la extracción del bloque (1), el segundo cono se construye en el bloque (2), donde el beneficio neto del cono es de +10, siendo en consecuencia ventajosa su extracción, quedando la figura de la siguiente forma:

Figura 2. Secuencias de extracción de Conos

Continuando con la secuencia, el tercer cono se construye en el bloque (3), resultando un beneficio de +30.

Figura 3. Secuencias de extracción de ConosDe este análisis se concluye que los tres bloques con valor económico mayor que cero son extraídos con un beneficio económico de +40, sin embargo un correcto análisis debiera obtener un pit con valor de +60, dejando en su lugar el bloque (3) con su respectiva sobrecarga, como podemos ver en la figura siguiente:

Figura 4. Secuencias de extracción de Conos

De lo anterior se desprende que la incorrecta secuencia con que se analizan los conos, produce pérdidas económicas cuya magnitud, obviamente, depende de la complejidad de la mineralización, de la variabilidad de las leyes, etc.

 El problema antes descrito es resuelto por el nuevo algoritmo introduciendo el concepto del “cono negativo”, algoritmo que consiste en extraer todos los bloques con beneficio positivo, para posteriormente devolverlos al rajo con su respectiva sobrecarga y así analizar la conveniencia de extraerlos o bien eliminarlos. En el ejemplo presentado anteriormente, se aprecia que al devolver el bloque (3) con su respectiva sobrecarga, se produce un beneficio económico pues se libera un valor de +20, esto indica que dicho bloque al no extraerse en su condición más favorable debe ser eliminado del análisis.

 En la práctica la técnica del cono negativo presenta deficiencias similares a las obtenidas mediante lo que se podría llamar el cono positivo, sin embargo un análisis simultáneo de ambas técnicas (cono positivo y negativo) produce resultados satisfactorios. Esta simultaneidad es la que se realiza en la etapa 1 del algoritmo de Lemieux.

 ii) Conos con sobrecarga relacionada:

 Este es el principal aporte del método del cono móvil optimizante, consiste en analizar conos que tengan sobrecarga compartida, por ejemplo:

Figura 1. Conos con sobrecarga relacionada

Los bloques (1) y (2) tienen un beneficio de +70 (incluido el costo mina). Al analizar conos individualmente, se aprecia que no es conveniente la extracción de dichos bloques, pues cada caso el beneficio neto del cono es -10.

Figura 2. Conos con sobrecarga relacionada

No obstante si se analiza en su conjunto se ve que es ventajosa su extracción, pues esta trae consigo un beneficio de +40.

Figura 3. Conos con sobrecarga relacionada

Método de LERCHS-GROSSMAN

MÉTODO DE LERCHS-GROSSMAN

El método bidimensional de Lerchs-Grossman permitirá diseñar, en una sección vertical, la geometría del pit que arroja la máxima utilidad neta. El método resulta atractivo por cuanto elimina el procesos de prueba y error de diseñar manualmente el rajo en cada una de las secciones. La metodología es conveniente, además para el procesamiento computacional.

 Al igual que el método manual, el método de Lerchs-Grossman diseña el rajo en secciones verticales. Los resultados pueden continuar siendo transferidos a una plano de plantas del rajo y ser suavizados y revisados en forma manual. Aún cuando el pit es óptimo en cada una de las secciones, es probable que el pit final resultante del proceso de suavizamiento no lo sea.

 El ejemplo de la figura Nº1 representa una sección vertical por medio de un modelo de bloques del depósito. Cada cubo representa el valor neto de un bloque, si éste fuera explotado y procesado de forma independiente. En la figura los bloques de valor neto positivo se han pintado. Además se ha establecido el tamaño del bloque de forma tal que el método en el perfil del pit se mueva hacia arriba o hacia abajo solamente cada un bloque (máximo), a medida que se mueva hacia los costados.

 Sección vertical por medio de un modelo de bloques del Depósito

Figura 1

 

Paso Nº1:

Sume los valores de cada columna de bloques e ingrese estos números en los bloques correspondientes en la figura Nº2. Este es el valor superior de cada bloque en dicha figura y representa el valor acumulativo del material desde cada uno de los bloques hasta superficie.

Paso Nº2:

Comience con el bloque superior de la columna izquierda y repase cada columna. Coloque una flecha en el bloque, apuntando hacia el valor más alto en:

1.-        El bloque a la izquierda y arriba.

2.-        El bloque a la izquierda.

3.-        El bloque a la izquierda y debajo.

Calcule el valor inferior del bloque, sumando el valor superior con el valor inferior del bloque hacia el cual apunta la flecha. El valor inferior del bloque representa el valor neto del material del bloque. Los bloques de la columna y los bloques en el perfil del pit a la izquierda del bloque. Los bloques marcados con una X no se pueden explotar, a menos que se sumen más columnas al modelo.

Paso Nº3:

Busque el valor máximo total de la fila superior. Este es el retorno neto total del pit óptimo. Para el ejemplo, el pit óptimo tendría un valor de US$ 13. Vuelva a trazar las flechas, a fin de obtener la geometría del rajo. La figura Nº3 nos muestra la geometría del pit en la sección. Cabe señalar que aunque el bloque de la fila 6, en la columna 6, tiene el valor neto más alto del depósito, éste no se encuentra en el rajo, ya que explotarlo reduciría el valor total del rajo (beneficio).

Sección después del procedimiento de Búsqueda

Figura 2. Sección después del procedimiento de Búsqueda

 

Geometría del pit óptimo

Figura 3. Geometría del pit óptimo

 

1) Método Bidimensional de Lerchs-Grossman

 En 1965, Lerchs y Grossman propusieron dos métodos diferentes para la optimización de rajos abiertos en un mismo documento. Uno de estos métodos trabaja en una sección simple a la vez. Este sólo maneja taludes que están un bloque arriba o abajo y un bloque transversal, de modo que es necesario seleccionar las proporciones de los bloques de manera tal de crear los taludes requeridos (modificar dimensionalmente el modelo de bloques). Este método es fácil de programar y es confiable en lo que hace, pero dado que las secciones son optimizadas en forma independiente, no hay ninguna garantía de que sea posible unir secciones sucesivas en una forma factible. En consecuencia por lo general se hace necesario una cantidad considerable de ajustes manuales para producir un diseño detallado. El resultado final es errático e improbable de ser verdaderamente óptimo.

Existen dos variantes recientes de este método, una de ellas (Johnson, Sharp, 1971) utiliza el método bidimensional tanto a lo largo de las secciones como a través de éstas en un intento por unirlas. El otro método (Koenigsberg, 1982) emplea una idea similar, pero trabaja en ambas direcciones al mismo tiempo. Ambos métodos están restringidos a los taludes que son definidos por las proporciones de los bloques y ninguno respeta incluso estos taludes a 45º con respecto a la sección. Este último punto queda mejor ilustrado ejecutando los programas en un modelo que contenga solamente un bloque de mineral (muy valioso). El pit resultante tiene forma de diamante en vez de circular, con taludes correctos en las direcciones E-W y N-S, pero bastante empinado entremedio.

 2) Lerchs-Grossman Tridimensional y Flujos de Redes

El segundo de los métodos representados por Lerchs y Grossman (1965) se basó en un método de la teoría de gráficos (grafos), y Johnson (1968) publicó un método de flujos de redes para optimizar un rajo. Ambos garantizan encontrar el óptimo en tres dimensiones, sin importar cual sean las proporciones de los bloques. Naturalmente ambos entregan el mismo resultado.

Los dos son difíciles de programar para un ambiente de producción, donde existen grandes cantidades de bloques. No obstante, esto se ha logrado y en la actualidad existen programas disponibles que pueden ser ejecutados en cualquier computador tipo PC en adelante. La mayoría de estos programas utilizan el método de Lerchs-Grossman.

Debido a que estos programas garantizan encontrar el subconjunto de bloques con el máximo valor absoluto acatando las limitaciones de taludes, las alteraciones a la geometría del rajo causada por pequeños cambios en los taludes o valores de los bloques son indicadas confiablemente como efectos de tales cambios. Esto ha permitido la apertura del campo del análisis de sensibilidad real, donde los efectos de los cambios de talud, precio y costos pueden ser medidos en forma precisa. Con los demás métodos, sólo es posible el trabajo de sensibilidad más tosco.

Lo anterior ha conducido al desarrollo de programas que automatizan algunos aspectos del análisis de sensibilidad, llegando a un punto tal que es posible plotear fácilmente los gráficos del valor presente neto en función, del tonelaje total del pit.

Método Lerchs-Grossman Tridimensional

Método de la relación estéril/ mineral v/ s ley media

Tomando como base la ecuación de beneficio:

 B = I – C

y asumiendo un beneficio nulo:

 B = 0

I = C

 se tiene que:

CEI * R * P = ((1 + F * E/M) * (CM + CC) + CP) * FS + CEI * R * CR

CEI * R * (P – CR) = ((1 + F * E/M) * (CM + CC) + CP) * FS

 

CEI  :    Contenido de la Especie de interés en el mineral (o Ley en unidades convenientes).

R       :    Recuperación Total Metalúrgica.

P       :    Precio de venta de la unidad de la especie de interés.

CR    :    Costo de Refinería

E/M  :    Relación de Estéril y Mineral.

F       :    Incremento de la razón E/M por movimientos extras de material (Rampas, accesos, etc.), (F > 1).

CM   :    Costo de la Mina del material movido

CC    :    Costo de Capital Mina.

CP    :    Costo Proceso del mineral.

FS     :    Factor de seguridad, que incrementa los costos de obtención del producto (FS > 1)

 

En nuestro caso (Cobre sulfurado), se tiene la siguiente expresión para una tonelada métrica de mineral (TM):

TM*(L/100)*2204.6 lb/Ton*(RM/100)*P= ((1+1.15*E/M)*TM*(CM+CC)+CP*1Ton M)*FS+…

                                                           ……+TM*(L/100)*2204.6 lb/Ton*(RM/100)*FyR

TM*(L/100)*2204.6 lb/Ton*(RM/100)*(P-FyR)=((1+1.15*E/M)*TM*(CM+CC)+CP*TM)*FS

Donde:

L       :    Ley media Cu %

RM   :    Recuperación Total Metalúrgica en %

P       :    Precio de venta en US$/lbCu

FyR  :    Costo de fundición y refinería en US$/lbCu

E/M  :    Relación de Estéril y Mineral (adimensional Ton/ Ton)

CM   :    Costo de la Mina en US$/Ton de material movido

CC    :    Costo de Capital en US$/Ton de material movido

CP    :    Costo de la Planta de procesamiento de minerales en US$/Ton de Mineral

FS     :    Factor de seguridad, que incrementa los costos de obtención del producto (FS > 1)

 

También es bueno mencionar que el proceso dependerá del mineral a tratar y por ello hay costos que en algunos casos desaparecen, aparecen, o son reemplazados por los correspondientes al mineral en estudio (calizas, óxidos, gravas, Oro, Zinc, etc.).

En el caso del factor de seguridad, queda a criterio del encargado del diseño y por lo general este factor incrementa los costos de un 10 a un 40 %, según la calidad de la información disponible.

Dentro de la ecuación, aparece un factor 1.15 que incrementa la razón Estéril / Mineral, esto debido a que en nuestro pit no podemos generar un agujero sin construir accesos hacia él, por lo que se considera un aumento en la razón E/M (es decir aumenta el movimiento de estéril) por concepto de construcción de rampas y accesos. Este valor puede variar según el criterio de los encargados del diseño.

A partir de la expresión anterior podemos obtener una relación entre la ley media y los costos por categoría, y podremos observar que se obtiene la misma expresión que permite determinar la Ley de corte crítica para el yacimiento (dejando como FS = 1, considerando el movimiento de una tonelada de mineral sin estéril asociado, es decir relación E/M = 0) y agregando otros costos de administración, depreciación de equipos (mina), venta del producto, etc.

Prosiguiendo con el manejo de las expresiones podemos obtener una expresión de la razón E/M en función de la Ley Media, lo que queda como sigue:

 

TM*(L/100)*2204.6 lb/Ton*(RM/100)*(P-FyR)=((1+1.15*E/M)*TM*(CM+CC)+CP*TM)*FS

E/M=(({(TM*(L/100)*2204.6 lb/Ton*(RM/100)*{P-FyR})/FS-CP*TM}/(CM+CC)*TM)-1)/1.15

 

Numéricamente se tiene:

E/M={[(L*0.22046*RM*P-CP)/(FyR)]-(1/1.15)]}/[FS(CM+CC)*1.15]

Sobre la base de esta función (Recta), podremos aplicar la metodología de los conos flotantes y con ello nuestra primera etapa del diseño para la explotación, sabiendo que para una determinada Ley promedio de M tonelaje de mineral, se podrán extraer E toneladas de estéril (a partir de la Razón E/M).

Esto nos genera una recta similar a la siguiente:

Gráfico Ley Media- Razon EM

Cabe notar que para el caso en que la ley es igual a la ley de corte tendríamos que sacar el material siempre y cuando no exista material estéril asociado a él (E/M = 0), lo que resulta de la definición de Ley de corte Crítica y en este caso podemos observar que la ley de corte* es mayor que la ley de corte crítica de diseño por la sencilla razón de estar afectada por los factores de seguridad.

Considerando el siguiente perfil asociado a un modelo de bloques con sus respectivas leyes en %Cu, donde la densidad de la roca es de 2,5 Ton/ m3 y sus dimensiones son de 30 x 30 x 30 = 27000 metros cúbicos, los bloques pintados (amarillos) corresponden a mineral con leyes sobre la ley de corte crítica (0.6 %Cu) y los bloques en blanco corresponden a bloques sin ley (estéril), se tiene lo siguiente:

Cuadro. Evaluación cantidad de mineral con su estéril asociado

Con esto podemos evaluar una cantidad de mineral con su estéril asociado y verificar si vale la pena extraerla o simplemente la dejamos en su lugar de origen, determinando la ley media asociada al conjunto de bloques mineralizados (LM), la cantidad de mineral (TM), la cantidad de estéril asociado (TE) y evaluándolas en la función E/M v/s Ley Media.

 Si consideramos la construcción del primer cono de la siguiente forma:

Cuadro 2. Construcción del primer Cono de la ley media asociada

La ley media asociada a este “cono” corresponde a LM = 11,6/10 = 1,16 % Cu, el tonelaje de mineral de los 10 bloques es TM = 675.000, el tonelaje de los 26 bloques de estéril es TE = 1.755.000, se tiene que la relación E/M = 2,6 por lo que deberá evaluarse en la función si la relación E/M correspondiente a la ley media calculada es mayor o menor que la obtenida del modelo, si fuese mayor que la obtenida en el modelo (E/M = 2,6) quiere decir que la explotación de dicho cono reporta beneficios positivos, por lo que este cono será explotado. En caso contrario (B < 0) el cono no se extrae.

 Como ejemplo tomemos la siguiente ecuación E/M v/s Ley Media:

Gráfico Ecuación EM vs Ley Media

Como podemos observar con una ley media de 1,16 % Cu se paga la extracción de 4,8 unidades de material estéril por cada unidad de mineral (E/M* = 4,8), y en nuestro ejemplo el cono evaluado arroja como resultado una relación E/M = 2,6 < E/ M*, con esto podemos decir que nuestro cono inicial puede ser extraído generando un beneficio positivo.

Ahora bien, si el cono se extrae (B > 0), no necesariamente corresponderá a una explotación óptima, ya que puede que existan bloques minerales dentro de este bloque que no paguen la extracción del estéril asociado a ellos y que tendrán que someterse a una evaluación (como tajada individual) y si así fuese los límites del pit se desplazarían hacia el interior.

 Del mismo modo dado que el cono será extraído puede que otros recursos cercanos a él (con sobrecarga relacionada) queden expuestos y su extracción reporte nuevos beneficios con lo cual los límites del pit original son desplazados hacia fuera.

EJEMPLOS DE APLICACIÓN

Ejemplo Nº1: Si evaluamos la lonja adicional (de la derecha) tenemos lo siguiente:

Cuadro 1. La ley media asociada

La ley media asociada a esta “lonja” corresponde a LM = 1,9/2 = 0,95 % Cu, el tonelaje de mineral de los 2 bloques es TM = 135.000, el tonelaje de los 3 bloques de estéril es TE = 202.500, se tiene que la relación E/M = 1,5. Evaluando en nuestra función se obtiene que E/M* = 3,15 > E/M de la lonja evaluada, por lo que la lonja adicional reporta beneficios positivos al extraerla.

Nuestro nuevo perfil queda de la siguiente forma:

Cuadro 2. La ley media asociada

Ejemplo Nº2: Supongamos que tenemos el siguiente caso en vez del anterior:

Cuadro 1. La ley media asociada

Si evaluamos la lonja adicional (de la derecha) tenemos lo siguiente:

La ley media asociada a esta “lonja” corresponde a LM = 0,9 % Cu, el tonelaje de mineral del bloque es TM = 67.500, el tonelaje de los 4 bloques de estéril es TE = 270.000, se tiene que la relación E/M = 4. Evaluando en nuestra función se obtiene que E/M* = 2,75 < E/M de la lonja evaluada, por lo que la lonja adicional no reporta beneficios positivos al extraerla. En este caso nuestro nuevo perfil queda de la siguiente forma:

Cuadro 2. La ley media asociada

 

Ejemplo Nº3: Si hubiésemos iniciado nuestra evaluación desde otro bloque podría haberse generado lo siguiente:

Cuadro 1. La ley media asociada

LM = 0,8 % Cu, E/M = 3 > E/M* = 2, con lo que el cono no se extrae.

Cuadro 2. La ley media asociada

LM = 1,0 % Cu, E/M = 5 > E/M* = 3,6, con lo que el cono no se extrae.

Cuadro 4. La ley media asociada

LM = 0,93 % Cu, E/M = 3,67 > E/M* = 3, con lo que el cono no se extrae.

Cuadro 4. La ley media asociada

LM = 1,1 % Cu, E/M = 3,2 < E/M* = 4,35, con lo que el cono se extrae.

Cuadro 5. La ley media asociada

LM = 1,22 % Cu, E/M = 2 < E/M* = 5,3, con lo que la lonja adicional se extrae quedando de la sección de la siguiente forma:

Cuadro 6. La ley media asociada

Finalmente evaluando la última lonja (de igual forma como en el Ejemplo Nº1) se obtiene la siguiente configuración:

Cuadro 7. La ley media asociada

 

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5 Comments

  1. Christian 22 junio, 2012
  2. octavio dulanto 8 diciembre, 2012
  3. jimmy 20 mayo, 2013
  4. Pedro Noveroy 6 agosto, 2013
  5. karina 21 diciembre, 2014

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