Determinación de la Ley de Corte Óptima

| 15 diciembre, 2011 | 0 Comentarios

La ley de corte es el criterio empleado en minería para discriminar entre el mineral y estéril. Se busca determinar la ley de corte que maximiza el valor presente de los flujos de caja de la operación de un modelo general: Mina, Planta y Refinería, obteniéndose tres leyes de corte económicas al considerar que cada una de estas etapas limita por sí sola la capacidad de operación, y tres leyes de corte de equilibrio al equilibrar las capacidades de cada par de etapas. Una de estas seis leyes corresponde a la ley de corte óptima.

El mejor criterio para definir la ley de corte es el de maximizar el valor presente de los flujos de caja de la operación, lo cual fallaría bajo consideraciones muy especiales.

Descripción del Modelo

Sean 3 unidades básicas. Mina, Planta y Refinería, cada una de ellas con una capacidad máxima dada y costos unitarios constantes en el tiempo, teniéndose además los costos fijos totales, precios de venta del producto refinado y una recuperación total del proceso.

Ley de Corte Optima

Definiciones:

M : Cantidad máxima de material (estéril y mineral) a extraer en un año.

C : Cantidad máxima de mineral a tratar en un año.

R : Cantidad máxima de fino a producir en un año.

m : Costo de mina por unidad de material, independiente de la ley de la unidad explotada (perforación, tronadura, carguío y transporte).

: Costo por unidad de mineral tratado.

: Costo por unidad de producto incluyendo fundición, refinería y ventas.

: Costos fijo.

s : Precio de venta.

u : Recuperación metalúrgica. 

Determinación de Leyes de Corte Económicas 

Para determinar la influencia de la ley de corte en la economía de la operación, se plantea una expresión básica del beneficio. De ella se deduce la fórmula para el valor presente y de esta última se obtienen las leyes de corte óptimas para cada unidad productora.

El beneficio está dado por la siguiente expresión:

(1) P = (s – r) * Qr – c * Qc – m * Qm – (f  * T)

En que:

Qm : Cantidad de material a extraer en un período de T años. Limitado por M.

Qc : Cantidad de mineral a tratar en un período de T años. Limitado por C.

Qr : Cantidad de producto obtenido en un período de T años. Limitado por R.

T : Período de operación en años.

*: Símbolo de multiplicación

Los costos totales para el período son:

(2) Ct = r * Qr + c * Qc + m * Qm + f * T

El ingreso bruto del período está dado por:

(3) R = s * Qr

El beneficio neto del período será:

(4) P = R – Ct

Qc y Qr dependen de la ley de corte.

El objetivo es maximizar el valor presente de los beneficios de la operación. Se busca una expresión para el incremento del valor presente de la explotación de un período. Como esto es difícil suponemos que conocemos la respuesta y analizaremos la estructura de la solución.

Sea “V” el valor presente máximo posible de los beneficios futuros de la operación.

Sea “W” el valor presente máximo posible de los beneficios futuros después de la explotación del período T.

La ley de corte aplicable a Qm debe ser tal que el valor presente del beneficio de la explotación de Qm + W sea máximo.

De la definición de valor presente, considerando a d como la tasa de descuento, se tiene:

VPN = – I + S (Bi / (1 + d)i)   i = 1 a n”

VPN = – I + S (Bi / (1 + d)i ) + P / (1 + d)T + S (Bj / (1 + d)j )   “i = 1 a T-1, j = T+1 a n” 

en el período T ya he recibido los flujos anteriores, por lo que no se consideran para el cálculo, entonces tenemos que:

V = P / (1 + d)T + S (Bj / (1 + d)j )   “j = T+1 a n”

V = P / (1 + d)T + 1 / (1 + d)T * S (Bk / (1 + d)k )   “k = 1 a n-T” 

W = S (Bk / (1 + d)k )   “k = 1 a n-T” 

(5)     V = (P + W) / (1 + d)T 

Como se trata de un futuro inmediato tenemos que T es muy pequeño, por lo que podemos considerar la expresión:

(1 + d)T = 1 + T * d 

quedando:

(6)     V – W = P – d * V * T 

Sea v = V – W, el incremento en el valor presente debido a la explotación del siguiente Qm, luego: 

(7)     v = (s – r) * Qr – c * Qc – m * Qm – (f  + d * V) * T

“v” corresponde a  la expresión del incremento en el valor presente, en que el término d x V representa el costo de oportunidad de extraer leyes bajas cuando es posible extraer leyes altas. Además de maximizar el beneficio del período buscamos maximizar el beneficio total.

Observaciones a la expresión (7):

  • La expresión involucra un valor V, que es desconocido, ya que sólo se puede saber su magnitud cuando se ha decidido la ley de  corte óptima. En la práctica se hacen estimaciones sucesivas de V.
  • Esta expresión es válida si V sólo depende de las reservas, pero no del tiempo. Esto es equivalente a suponer precios y costos constantes.

En la expresión (7) puede reemplazarse T como una razón la cantidad Q tratada por la unidad correspondiente y la capacidad máxima de ésta. Se tiene entonces:

Empresa Minera Cerro Verde

Mina. Foto: Compañia Minera Cerro Verde, Arequipa - Perú

Si la mina define al ritmo de explotación, el período T está dado por:

T = Qm / M

y reemplazando este valor en (7) se obtiene:

vm = (s – r) * Qr – c * Qc – {m – (f  + d * V) / M} * T

Qr = Qc * gm * y

Dado un Qm, la ley de corte afecta sólo a Qr y Qc por lo tanto, la ley de corte debe ser escogida para maximizar el término {(s – r) * Qr – c * Qc}. Esto implica que cada unidad de material para la cual (s – r) * Qr, excede el costo de concentración “c”, deberá clasificarse como mineral.

Luego, la ley de corte económica dada por la mina es:

(s – r) * Qr = c * Qc

(s -r) * gm * y = c

(8)     gm = c / {(s -r) * y}

gm : Ley que da el máximo aporte al valor presente en el caso que la mina defina el ritmo de explotación.

Planta Concentradora Cerro Verde

Planta Concentradora Cerro Verde

Si la planta concentradora define al ritmo de explotación, el período T está dado por:

T = Qc / C

y reemplazando este valor en (7) se obtiene:

vc = (s – r) * Qr – {c + (f  + d * V) / C} * Qc – m * Qm 

Qr = Qc * gc * y

Análogamente al caso anterior se tiene que la ley de corte económica dada por la planta concentradora es:

(s – r) * Qr = {c + (f  + d * V) / C} * Qc 

(s -r) * gc * y = c + (f  + d * V) / C 

(9)     gc = {c + (f + d * V)}/ {(s -r) * y}

gc : Ley que da el máximo aporte al valor presente en el caso que la concentradora defina el ritmo de explotación.

Refinería

Refinería

Si la refinería define al ritmo de explotación, el período T está dado por:

T = Qr / R 

y reemplazando este valor en (7) se obtiene:

vr = {(s – r) – (f  + d * V) / R} * Qr – c * Qc – m * Qm

Qr = Qc * gr * y 

Análogamente al caso anterior se tiene que la ley de corte económica dada por la planta refinería es:

{(s – r) – (f  + d * V) / R} * Qr = c * Qc 

(10)   gr = (c * R) / {(s -r) * y * R – (f  + d * V) * y}

gr : Ley que da el máximo aporte al valor presente en el caso que la refinería defina el ritmo de explotación.

Estas tres leyes de corte económicas dependen directamente de los precios, costos y capacidades, pero sólo indirectamente a través del valor presente V, de la distribución de leyes del yacimiento, por lo tanto son estables  en el sentido que varían poco durante la vida del yacimiento, por ejemplo gm no varía nunca.

Categoría: Diseño y Operaciones de Minas a Cielo Abierto

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